Существуют ли значения t, при каждом из которых одновременно sin t = 2-√3 / √7, а cos t = 2⁴√3 / √7? ответ поясните.

1. Для того, чтобы два числа a и b являлись значениями синуса и косинуса от одного и того же угла t:

sint = a; cost = b,

необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию:

a^2 + b^2 = 1. (1)

2. Необходимость непосредственно следует из тригонометрического тождества:

sin2^t + cos2^t = 1.

А достаточность следует из того, что числа a и b, удовлетворяющие условию (1), принадлежат промежутку [-1; 1].

3. Для заданных значений a и b проверим условие (1):

a = (2 - √3) / √7; b = 2⁴√3/√7; a^2 + b^2 = ((2 - √3) / √7) ^2 + (2⁴√3/√7) ^2 = (4 - 4√3 + 3) / 7 + 4√3/7 = 7/7 - 4√3/7 + 4√3/7 = 1.

Что и требовалось доказать.