При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2+ax=2x+a+3 равна 18?

Преобразуем уравнение:

x² + a * x = 2 * x + a + 3,

x² + a * x - 2 * x - a - 3 = 0,

x² + (a - 2) * x - (a + 3) = 0.

Согласно теореме Виета x1 + x2 = - (a - 2) = 2 - a, x1 * x2 = - (a + 3) = - a - 3.

По условию задачи x1² + x2² = 18.

Дополним левую часть этого равенства до полного квадрата суммы, получим:

x1² + x2² = x1² + 2 * x1 * x2 + x2² - 2 * x1 * x2 = (x1² + 2 * x1 * x2 + x2²) - 2 * x1 * x2 = (x1 + x2) ² - 2 * x1 * x2 = (2 - a) ² - 2 * (-a - 3) = a² - 2 * a + 10 = 18,

a² - 2 * a - 8 = 0.

По теореме Виета корни:

a = 4,

a = - 2.

Ответ: при а = 4 и а = - 2.