Даны координаты вершин треугольника MPT:M (-4; 3), P (2; 7), T (8; -2). Докажите, что данный треугольник прямоугольный, и найдите радиус описанной около него окружности.

M (-4; 3), P (2; 7), T (8; -2)

Найдем координаты следующих векторов:

MP = (2 - (-4); 7 - 3) = (6; 3);

PT = (8 - 2; - 2 - (-7)) = (6; 5);

TM = (-4 - 8; 3 - (-2)) = (-12; 5).

Вычислим их модули:

|MP| = √ (6^2 + 3^2) = √45;

|PT| = √ (6^2 + 5^2) = √61;

|TM| = √ (-12^2 + 5^4) = √106.

Тогда поскольку |MP|^2 + |PT|^2 = |TM|^2, выполняется теорема Пифагора. Следовательно треугольник прямоугольный.

Радиус R описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:

R = √106 / 2 = √ (53 / 2).