Разложите на множители: 1) x^3+6x^2+11x+6 2) a^5 + a^4+a^3+a^2+a+1

Решение:

1). Представляем 11x в виде суммы, группируем слагаемые и выносим общие множители за скобку:

x³ + 6x² + 11x + 6 = (x³ + 6x² + 9x) + 2 х + 6 = х (x² + 6x + 9) + 2 (х + 3).

Упростим выражение в первой скобке по формуле квадрат суммы (а + b) ² = (а² + 2ab + b²) и вынесем (х + 3) за скобку:

х (x + 3) ² + 2 (х + 3) = (х + 3) (х (x + 3) + 2) = (х + 3) (х² + 3 х + 2).

Представляем 3 х и 2 в виде суммы и упрощаем по аналогии:

(х + 3) (х² + 2 х + х + 1 + 1) = (х + 3) ((х² + 2 х + 1) + (х + 1)) = (х + 3) ((х + 1) ² + (х + 1)) = (х + 3) (х + 1) (х + 1 + 1) = (х + 3) (х + 1) (х + 2).

2). Группируем, выносим общий множитель за скобку:

a⁵ + a⁴ + a³ + a² + a + 1 = (a⁵ + a⁴ + a³) + (a² + a + 1) = a³ (a² + a + 1) + (a² + a + 1) = (a² + a + 1) (a³ + 1) = (a² + a + 1) (a + 1) (a² - a + 1).

Уравнения a² + a + 1 = 0 и a² - a + 1 = 0 корней не имеют, т. к. D < 0, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно.

Ответ: x³ + 6x² + 11x + 6 = (х + 1) (х + 2) (х + 3); a⁵ + a⁴ + a³ + a² + a + 1 = (a + 1) (a² + a + 1) (a² - a + 1).