При каких значениях m уравнение x^3+6x^2+mx=0 имеет два корня? Найдите их.

1. Вынесем общий множитель x за скобки и решим уравнение:

x^3 + 6x^2 + mx = 0; x (x^2 + 6x + m) = 0;

[x = 0; (1)

[x^2 + 6x + m = 0. (2)

2. Один корень: x = 0. Уравнение (2) будет иметь единственный корень, если дискриминант ноль:

D = 6^2 - 4m = 0; 36 = 4m; m = 36 : 4 = 9.

Корень уравнения:

x = - b/2 = - 6/2 = - 3.

3. Возможен и другой случай, если уравнение (2) имеет два корня, один из которых ноль:

x^2 + 6x + m = 0;

m = 0;

x^2 + 6x = 0; x (x + 6) = 0; [x = 0;

[x + 6 = 0; [x = 0;

[x = - 6.

Ответ:

a) m = 9; x1 = 0; x2 = - 3; b) m = 0; x1 = 0; x2 = - 6.