Произведение первых трёх членов геометрической прогрессии равен 1728, а сумма=63. Найдите первый член и знаменатель.

1. Пусть b1 - первый член, а q - знаменатель геометрической прогрессии bn. Тогда для второго и третьего членов прогрессии получим:

b2 = b1q; b3 = b1q^2.

2. Составим уравнения для двух условий задачи:

b1 * b2 * b3 = 1728; (1) b1 + b2 + b3 = 63. (2)

3. Подставим значения b2 и b3 в уравнения (1) и (2) и решим систему:

{b1 * b1q * b1q^2 = 1728;

{b1 + b1q + b1q^2 = 63; { (b1q) ^3 = 12^3;

{b1 + b1q + b1q * q = 63; {b1q = 12;

{b1 + 12 + 12q = 63; {q (51 - 12q) = 12;

{b1 = 51 - 12q; {51q - 12q^2 = 12;

{b1 = 51 - 12q; {12q^2 - 51q + 12 = 0;

{b1 = 51 - 12q; D = 51^2 - 4 * 12 * 12 = 2601 - 576 = 2025 = 45^2; q = (51 ± 45) / 24;

a) q = (51 - 45) / 24 = 6/24 = 1/4;

b1 = 51 - 12q = 51 - 12 * 1/4 = 51 - 3 = 48;

b) q = (51 + 45) / 24 = 96/24 = 4;

b1 = 51 - 12q = 51 - 12 * 4 = 51 - 48 = 3.

Ответ: b1 = 48; q = 1/4; и b1 = 3; q = 4.