Найдите промежутки на которых функция y=3+9x^2-x^3 убывает?

Для нахождения экстремумов и точек перегиба найдем первую производную функции и, приравняв ее нулю, найдем абсциссы экстремумов. Для каждого значения х найдем значения у:

у = 3 + 9 * х² - х³;

у' = (3 + 9 * х² - х³) ' = 0 + 2 * 9 * х^{2 - 1} - 3 * х^{3 - 1} = 18 * х - 3 * х²;

18 * х - 3 * х² = 0;

- х² + 6 * х = 0;

х * (6 - х) = 0;

х = 0;

у = 3 + 9 * х² - х³ = 3 + 9 * 0 - 0 = 3;

6 - х = 0;

х = 6;

у = 3 + 9 * х² - х³ = 3 + 9 * 36 - 216 = 3 + 324 - 216 = 111.

Получили два экстремума с координатами (0; 3) и (6; 111).

Проверим как себя ведет производная на участках, взяв любые точки из промежутков:

-∞ < х < 0;

0 < х < 6;

6 < х < ∞;

f (-1) = 18 * х - 3 * х² = - 18 - 3 * 1 = - 21 < 0;

f (1) = 18 * х - 3 * х² = 18 - 3 = 15 > 0;

f (10) = 18 * х - 3 * х² = 180 - 3 * 100 = - 120 < 0;

Следовательно на участках - ∞ < х < 0 и 6 < х < ∞ функция убывает, а на участке 0 < х < 6 - функция возрастает.

Ответ: функция убывает при х ∈ (-∞; 0) U (6; + ∞)