В цилиндре проведена параллельно его оси плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 120 градусов. Высота цилиндра 12 см, расстояние плоскости от оси 4 см. Найти площадь сечения.

В цилиндре проведена параллельно его оси СС₁ плоскость, дающая в сечении прямоугольник АВВ₁А₁, где точки АВС лежат на нижнем основании, а точки А₁, В₁, С₁ - на верхнем основании. Известно, что эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов, значит, величина центрального угла, опирающегося на эту дугу, будет: ∠АСВ = 120°. Высота цилиндра АА₁ = 12 см. Расстояние плоскости от оси равно высоте СК получившегося равнобедренного треугольника АВС, так как АС = ВС = r, где r - радиус основания цилиндра и СК = 4 см. В прямоугольном треугольника АСК катет АК = СК ∙ tg 60°, так как ∠АСК = ∠АСВ: 2 = 120° : 2 = 60°, тогда АК = 4 ∙ √3 (см). Площадь сечения S = АА₁ ∙ АВ, значит, S = 12 ∙ 4 ∙ √3 = 48 ∙ √3 (см^2).

Ответ: площадь сечения цилиндра равна 48 ∙ √3 см^2.