При каком значении параметра a корни x1 и x2 уравнения 2x^2 - x + a = 0 положительны и сумма их корней принимает наибольшее значение?

1. По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а их произведение - свободному члену.

2. Разделим обе части данного уравнения на 2 для получения приведенного квадратного уравнения:

2x^2 - x + a = 0; x^2 - 1/2 * x + a/2 = 0; x1 + x2 = 1/2; (1) x1 * x2 = a/2. (2)

3. Из уравнения (1) следует, что сумма корней имеет постоянное значение, значит, максимальное значение равно 1/2. А поскольку эта сумма - положительное число, то для того, чтобы корни были положительными, необходимо и достаточно, чтобы их произведение также было положительным числом:

a/2 > 0; a > 0; a ∈ (0; ∞).

Ответ:

1) наибольшее значение: 1/2; 2) a ∈ (0; ∞).