При каких значениях x значение выражения 4+x больше значения выражения 4:x

Составим неравенство по условию задачи:

4 + х > 4/х;

перенесем дробь в левую часть:

4 + х - 4/х > 0;

Приведем к общему знаменателю:

4 х/х + х^2/х - 4/х > 0;

(4 х + х^2 - 4) / х > 0;

(х^2 + 4 х - 4) / х > 0.

Решим неравенство методом интервалов:

х = 0 (корень не входит в промежуток);

х^2 + 4 х - 4 = 0;

найдем корни с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 4; c = - 4;

D = b^2 - 4ac; D = 4^2 - 4 * 1 * (-4) = 16 + 16 = 32 (√D = √32 = √ (16 * 2) = 4√2);

x = (-b ± √D) / 2a;

x₁ = (-4 - 4√2) / 2 = - 2 - 2√2 (~ - 5);

х₂ = - 2 + 2√2 (~ 1).

Отмечаем на прямой числа (-2 - 2√2), 0 и (-2 + 2√2). Расставляем знаки интервалов (правый крайний + ) : (-) (-2 - 2√2) (+) 0 (-) (-2 + 2√2) (+).

Так как знак неравенства > 0, то решением будут промежутки (-2 - 2√2; 0) и (-2 + 2√2; + ∞).