Cos2x-1=√2sin (5 п/2-x) И укажите корни этого уравнения принадлежащего отрещку [-3π/2; π]

Решим уравнение:

cos 2x - 1 = √2 * sin (5 п/2 - х).

Упростим выражение sin (5 п/2 - х), используя формулы приведения:

sin (5 п/2 - х) = sin (2 п + п/2 - х) = sin (п/2 - х) = cos х.

Воспользуемся формулой двойного угла:

cos 2x = 2cos² x - 1.

Подставим полученные упрощения в исходное уравнение:

2cos² x - 1 - 1 = √2 cos х.

Перенесем все в левую часть:

2cos² x - 1 - 1 - √2 cos х = 0,

2cos² x - √2 cos х - 2 = 0.

Заменим переменные: cos х = у, получим:

2 у² - √2 у - 2 = 0.

Найдем дискриминант:

D = 2 + 4 * 2 * 2 = 18.

у₁ = (√2 + √18) / 4 = (√2 + 3√2) / 4 = √2,

у₂ = (√2 - √18) / 4 = (√2 - 3√2) / 4 = - √2/2.

Вернемся к исходным переменным:

cos х = √2,

cos х = - √2/2.

Решим первое уравнение:

cos х = √2.

Т. к. функция f (x) = cos x принимает значения [-1; 1], а √2 > 1, то уравнение корней не имеет.

Решим второе уравнение:

cos х = - √2/2,

х = 3 п/4 + 2 пk,

х = - 3 п/4 + 2 пk.

Выберем из множества решений корни, принадлежащие отрезку [-3 п/2; п]:

-5 п/4, - 3 п/4, 3 п/4.

Ответ: 5 п/4, - 3 п/4, 3 п/4.