Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки и у которого цифры идут в убывающем порядке слева направо.

1. Если натуральное число n при делении на 6 и 11 дает один и тот же ненулевой остаток r, то его можно представить в виде:

n = 6p + r; n = 11q + r,

где p, q = 0; 1; 2; ..., r = 1; 2; 3; 4; 5.

n - r = 6p; (1) n - r = 11q. (2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что разность n - r делится на 66, значит, ее можно представить в виде:

n - r = 66k, отсюда получим:

n = 66k + r, k = 0; 1; 2; ...

2. Простыми вычислениями найдем искомое трехзначное число:

a) k = 2; n = 66 * 2 + r = 132 + r; b) k = 3; n = 66 * 3 + r = 198 + r; c) k = 4; n = 66 * 4 + r = 264 + r; d) k = 5; n = 66 * 5 + r = 330 + r; e) k = 6; n = 66 * 6 + r = 396 + r; f) k = 7; n = 66 * 7 + r = 462 + r; g) k = 8; n = 66 * 8 + r = 528 + r.

При r = 2 получим нужное число:

n = 528 + 2 = 530.

Ответ: 530.