У=4x^2-26x+15lnx+27 найти точку максимума функции

1. Область допустимых значений переменной:

y = 4x^2 - 26x + 15lnx + 27;

x > 0; x ∈ (0; ∞).

2. Вычислим производную функции и найдем критические точки:

y = 4x^2 - 26x + 15lnx + 27; y' = 8x - 26 + 15/x; 8x - 26 + 15/x = 0; 8x^2 - 26x + 15 = 0;

D/4 = 13^2 - 8 * 15 = 169 - 120 = 49;

x = (13 ± √49) / 8 = (13 ± 7) / 8; x1 = (13 - 7) / 8 = 6/8 = 3/4; x2 = (13 + 7) / 8 = 20/8 = 5/2.

3. Промежутки монотонности:

a) x ∈ (0; 3/4), y' > 0, функция возрастает; b) x ∈ (3/4; 5/2), y' <0, функция убывает; c) x ∈ (5/2; ∞), y'> 0, функция возрастает.

x = 3/4 - точка максимума, т. к. функция от возрастания переходит к убыванию.

Ответ: x = 3/4.