1+cos (4*x) / tg (3*пи/4-2*x) Упростить тринометрическое выражение

Рассмотрим тригонометрическое выражение (1 + cos (4 * x)) / tg (3 * π/4 - 2 * x), знаменатель которого обозначим через Z. По требованию задания, упростим данное выражение. Прежде всего, предположим, что рассматриваются такие углы х, для которых данное дробное выражение имеет смысл. Учитывая равенство 3 * π/4 = π - π/4 воспользуемся формулой приведения tg (π - α) = - tgα. Тогда, знаменатель дроби Z преобразится следующим образом: Z = tg (3 * π/4 - 2 * x) = tg (π - π/4 - 2 * x) = tg (π - (π/4 + 2 * x)) = - tg (π/4 + 2 * x). Для дальнейшего преобразования Z, применим формулу tg (α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ) (тангенс суммы). Тогда, с учётом табличного значения tg (π/4) = 1, имеем: Z = - tg (π/4 + 2 * x) = - (tg (π/4) + tg (2 * x)) / (1 - tg (π/4) * tg (2 * x)) = - (1 + tg (2 * x)) / (1 - tg (2 * x)). Формула tgα = sinα / cosα позволит нам утверждать, что Z = - (1 + sin (2 * x) / cos (2 * x)) / (1 - sin (2 * x) / cos (2 * x)) = - ((cos (2 * x) + sin (2 * x)) / cos (2 * x)) / (cos (2 * x) - sin (2 * x)) / cos (2 * x)) = - (cos (2 * x) + sin (2 * x)) / (cos (2 * x) - sin (2 * x)). Числитель и знаменатель последней дроби умножим на (cos (2 * x) + sin (2 * x)). Тогда, с учетом соответствующих формул сокращенного умножения, Z примет вид: Z = - (cos (2 * x) + sin (2 * x)) ² / ((cos (2 * x) + sin (2 * x)) * (cos (2 * x) - sin (2 * x)) = - (cos² (2 * x) + 2 * cos (2 * x) * sin (2 * x) + sin² (2 * x)) / (cos² (2 * x) - sin² (2 * x)). Теперь применим следующие три формулы: sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла), cos (2 * α) = cos²α - sin²α (косинус двойного угла) и sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество). Эти формулы позволят написать Z = - (1 + sin (4 * x)) / cos (4 * x) Тогда, данное тригонометрическое выражение (которого обозначим через Т) получит вид: Т = (1 + cos (4 * x)) / ( - (1 + sin (4 * x)) / cos (4 * x)) = - (cos (4 * x) * (1 + cos (4 * x))) / (1 + sin (4 * x)). Числитель и знаменатель последней дроби умножим на 1 - sin (4 * x). Тогда, получим: Т = - (cos (4 * x) * (1 + cos (4 * x)) * (1 - sin (4 * x))) / (1 - sin² (4 * x)) = - (cos (4 * x) * (1 + cos (4 * x) - sin (4 * x)) - cos (4 * x) * sin (4 * x)) / cos² (4 * x) = (½ * sin (8 * x) + sin (4 * x) - cos (4 * x) - 1) / cos (4 * x).

Ответ: Если данное дробное выражение имеет смысл, то оно равно (½ * sin (8 * x) + sin (4 * x) - cos (4 * x) - 1) / cos (4 * x).