В треугольнике ABC угол B 30°, угол C 105°. Точка D середина BC. Найти угол BAD.

Дано: АВС - треугольник; угол В = 30°; угол С = 105°; точка D - середина стороны ВС. Найти: угол BAD. Проведём отрезок AD, он является медианой данного треугольника, так как, по определению медианы, медиана - это отрезок, проведённый из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Угол САВ = 180° - угол АСВ - угол СВА (по свойству суммы углов в треугольнике). Угол САВ = 180° - (105° + 30°) = 180° - 135° = 45°. Опустим высоту CH к стороне АВ. Угол АНС = углу ВНС = 90°. Угол HCB = 180° - (90° + 30°) = 60°. CH - катет, противолежащий углу в 30°, из этого следует, что СН = половине гипотенузы = СВ: 2. CD = CB : 2 - по условию, значит, СН = CD. Проведём отрезок НD: Треугольник HDC - равнобедренный, так как СН = CD. Угол НСD = 60°, тогда и угол CDH = 60°, так как углы при основании у равнобедренного треугольника равны. Угол СНD = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°. Все углы в треугольнике CDH равны, значит, треугольник CDH - равносторонний, следовательно, CH = HD = CD. Угол АСН = 105° - 60° = 45°. Так как угол АНС = 90°, то угол САН = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник АНС - равнобедренный. Тогда АН = СН = НD. Угол AHD = 90° + 60° = 150°. Угол DAH = (180° - 150°) : 2 = 30° : 2 = 15°. Следовательно, угол BAD = 15°.