найдите значение выражения logb 49b, если log7 b=4

Преобразуем выражение, воспользовавшись свойствами логарифмов, согласно которым:

Логарифм по основанию, равному аргументу под знаком логарифма соответствует единице;

Логарифм от аргумента, представленного степенным выражением Х^У соответствует произведению числа У на логарифм по исходному основанию от числа Х;

Логарифм по основанию Х от аргумента У можно представить, как деление логарифмов по основанию М от выражений У (в числителе) и Х (в знаменателе). В нашем случае пригодится частный случай этого свойства, когда логарифм по основанию Х от аргумента У можно представить, как деление единицы на логарифм от Х по основанию У.

Подставим в полученное выражение значение log₇ b = 4:

log_b (49 * b) = log_b 49 + log_b b = log_b 7² + log_b b = 2 * log_b 7 + 1 = 2 * (log₇ 7 / log₇ b) + 1 = 2 * (1 / 4) + 1 = 0,5 + 1 = 1,5.

Можно решить и иначе. Так как:

log₇ b = 4;

То по определению логарифма:

b = 7⁴;

Подставим значение b в исходное выражение:

log_b (49 * b) = log_{7 ^ 4} (49 * 7⁴) = (1/4) * log₇ (7² * 7⁴) = 0,25 * log₇ 7⁶ = 0,25 * 6 * log₇ 7 = 1,5 * 1 = 1,5.