Дано: ABCD - трапеция. Диагональ - АС угол ВАС = углу СAD AD=12 угол ADC = 60 градусов Найти: периметр ABCD

Question

Маргарита Смирнова

Математика

5 февраля, 16:30

Дано: ABCD - трапеция. Диагональ - АС угол ВАС = углу СAD AD=12 угол ADC = 60 градусов Найти: периметр ABCD

+5

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Михаил Макаров · Answer 1

Так как угол ВАС = СAD, то АС - биссектриса острого угла трапеции.

В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла.

Тогда, AB = CD = х, угол АВС = 180º - 60º = 120º.

Причем трапецию можно дополнить до параллелограмма, где АС биссектриса острого угла параллелограмма.

Тогда, по свойству биссектрисы параллелограмма, треугольник АВС равнобедренный, где АВ = ВС = х.

Значит, периметр ABCD трапеции равен

П = АВ + ВС + CD + AD = 3 * x + 12.

Найдем х по теореме косинусов из треугольников АВС и ADC.

AC^2 = x^2 + x^2 - 2 * x * x * cos (180º - 60) º = 2 * x^2 + x^2 = 3 * x^2.

AC^2 = 12^2 + x^2 - 2 * 12 * x * cos (60º) = 144 + x^2 - 12 * x.

3 * x^2 = 144 + x^2 - 12 * x.

2 * x^2 + 12 * x - 144 = 0.

x^2 + 6 * x - 72 = 0.

х1,2 = ( - 6 ± (36 + 4 * 72) ^ (1/2)) / 2 = ( - 6 ± 18) / 2.

х1 = ( - 6 + 18) / 2 = 6.

х2 = ( - 6 - 18) / 2 = - 12 не подходит по смыслу задачи.

Тогда,

П = 3 * x + 12 = 3 * 6 + 12 = 30.