Найдите двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды, все рёбра которой равны 1.

Пусть ЕАВСД - данная четырехугольная пирамида (Е - вершина, АВСД - основание). По условию АВ = ВС = ЕА = 1.

Проведем высоту АН боковой грани ЕАВ (Н принадлежит ЕВ), в правильном треугольнике АН будет также и медианой (BH = 1/2). СН - также высота боковой грани ЕСВ. Угол СНА - искомый угол.

Найдем длины АН по теореме Пифагора:

АН = √ (АВ² - BH²) = √ (1² - (1/2) ²) = √ (1 - 1/4) = √ (3/4) = √3/2.

Длина СН также будет равна √3/2 (так как боковые грани равны).

Найдем длину АС, диагонали квадрата АВСД:

АС = √ (АВ² + BC²) = √ (1² + 1²) = √2.

По теореме косинусов в треугольнике АСН:

АС² = AB² + BC² - 2 * АВ * ВС * cosH.

(√2) ² = (√ (3/4) ² + (√3/4) ² - 2 * √ (3/4) * √ (3/4) * cosH.

2 = 3/4 + 3/4 - 2 * 3/4 * cosH.

2 = 6/4 - 3/2 * cosH.

2 = 1,5 - 1,5 * cosH.

1,5cosH = 1,5 - 2.

1,5cosH = - 0,5.

cosH = - 0,5 : 1,5 = - 1/3.

угол Н = arccos (-1/3).

Ответ: угол равен arccos (-1/3).