Найдите все рациональные числа а, при которых выполняется равенство: 27 (корень (3)) ^ (а+2) = 3^a

1. Воспользуемся формулами для возведения степени в степень и произведения степеней с одинаковым основанием:

(a^m) ^n = a^ (mn); a^m * a^n = a^ (m + n); 27 * (√3) ^ (а + 2) = 3^a; 3^3 * (3^ (1/2)) ^ (а + 2) = 3^a; 3^3 * 3^ (1/2 * (а + 2)) = 3^a; 3^ (1/2 * (а + 2) + 3) = 3^a.

2. Основания степеней равны, следовательно, показатели также должны быть равными:

1/2 * (а + 2) + 3 = a; а + 2 + 6 = 2a; 8 = 2a - a; a = 8.

Ответ: 8.