В равнобедренном, прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB вписан прямоугольник KMNP. Периметр kmnp=30 см. Смежные стороны КМ и КР, КМ относится к KP как 2:3. Найти AB

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, в который вписан прямоугольник KMNP так, что его смежные стороны КМ и КР относится как 2 : 3, тогда:

х см - коэффициент пропорциональности;

2 ∙ х (см) - длина стороны КМ;

3 ∙ х (см) - длина стороны КР;

2 ∙ (2 ∙ х + 3 ∙ х) - периметр KMNP

Зная, что периметр KMNP равен 30 см, составляем уравнение:

2 ∙ (2 ∙ х + 3 ∙ х) = 30;

х = 3;

2 ∙ 3 = 6 (см) - длина стороны КМ и РN;

3 ∙ 3 = 9 (см) - длина стороны КР и МN;

АК = КМ = 6 см, так как Δ МАК ~ Δ АВС по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам);

РВ = РN = 6 см, так как Δ ВNР ~ Δ АВС по первому признаку подобия треугольников;

6 + 9 + 6 = 21 (см) - длина стороны АВ, так как АВ = АК + КР + РВ.

Ответ: гипотенуза AB равна 21 см.