Известно, что 3x+y≥13. Докажите, что 4x²+y²≥52

Сделаем возможные преобразования, используя исходные данные.

y ≥ 13 - 3 * x, возведем обе части неравенства в квадрат. y² ≥ (13 - 3 * x) ².

y² ≥ 169 - 78 * х + 9 * х² (1), Подставим вместе y² меньшее его значение из неравенства (1) в неравенство (2) : 4x²+y²≥52, которое необходимо доказать. 4x² + 169 - 78 * х + 9 * х² ≥ 52 и приведём возможные подобные члены. 13 * x² - 78 * х + 169 ≥ 52. Сократим на 13. x² - 6 * х + 13 ≥ 4,

Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене.

(x² - 2 * 3 * х + 9) - 9 + 13 ≥ 4, (х - 3) ² ≥ 0, а это справедливо абсолютно при любом х.

Значит, неравенство 4x² + y² ≥ 52 доказано.