Найдите два числа, сумма которых равна 2010, а наибольший общий делитель равен 67. В ответе приведите все возможные варианты.

Поскольку оба искомых числа имеют наибольший общий делитель число 67, то каждое из них можно представить в виде произведения множителей 67 * а1 и 67 * в1, где а1 и в1 некоторые натуральные числа, НОД которых равен 1.

По условию задачи:

67 * а1 + 67 * в1 = 2010;

67 (а1 + в1) = 2010;

а1 + в1 = 2010/67;

а1 + в1 = 30.

Так как НОД (а1; в1) = 1, то все возможные а1 и в1 это пары:

1, 29 - подходит;

2, 28 - не подходит т. к. НОД (2; 28) = 2, отбрасываем все четные варианты т. к. их НОД больше либо равен 2;

3, 27 - не подходит т. к. НОД (3; 27) = 3;

5, 25 - не подходит т. к. НОД (5; 25) = 5;

7, 23 = подходит;

9, 21 - не подходит т. к. НОД (9; 21) = 3;

11, 19 - подходит;

13, 17 - подходит;

15, 15 - не подходит.

Итак, есть 4 пары чисел, удовлетворяющих условию задачи:

1 * 67 = 67 и 29 * 67 = 1943;

7 * 67 = 469 и 23 * 67 = 1541;

11 * 67 = 737 и 19 * 67 = 1273;

13 * 67 = 871 и 17 * 67 = 1139.

Ответ: 67 и 1943; 469 и 1541; 737 и 1273; 871 и 1139.