При каких значениях параметра a уравнение x^2 - (2a+1) x+a^2+a-6=0 Имеет: а) 2 положительных корня; б) 2 отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Найдем дискриминант:

D = (2a + 1) ^2 - 4 * 1 * (a^2 + a - 6) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a + 24 = 25 = 5^2.

Корни уравнения:

x1 = ((2a+1) - 5) / (2 * 1) = a - 2;

x2 = ((2a+1) + 5) / (2 * 1) = a + 2.

а) Два корня будут положительны, если одновременно выполняются два условия:

a - 2 > 0 и a + 2 > 0;

a > 2 и a > - 2.

Таким образом, оба корня положительны при a > 2.

б) Два корня будут отрицательны, если одновременно выполняются два условия:

a - 2 < 0 и a + 2 < 0;

a < 2 и a < - 2.

Таким образом, оба корня отрицательны при a < - 2.

в) Так как a + 2 > a - 2, то при положительном a - 2 выражение a + 2 также будет положительным, а при отрицательном a - 2 выражение a + 2 также будет отрицательным. Оба этих случая не удовлетворяют условию. Поэтому рассматриваем случай, когда a + 2 положителен, а a - 2 отрицателен:

a - 2 0;

a - 2.

Таким образом, корни имеют разные знаки при - 2 < a < 2.