Кузнечик прыгает по прямой: первый раз - на 1 см, второй раз - на 2 см и т. д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на старое место?

Будем решать задачу, исходя из того, что каждый следующий прыжок кузнечика на 1 см больше предыдущего.

Длины прыжков кузнечика образуют арифметическую прогрессию.

Пользуясь формулой суммы арифметической прогрессии, вычислим суммарную длину 25 прыжков кузнечика:

S25 = (2 * 1 + 1 * (25 - 1)) * 25 / 2 = (2 + 24) * 25 / 2 = 325 (см).

Итак, общая длина 25 прыжков кузнечика 325 см - выражается нечетным числом.

Кузнечик мог бы вернуться в ту же точку, если бы суммарная длина прыжков в одном направлении была бы равна суммарной длине в противоположном направлении, т. е. половине общей длины всех 25 прыжков.

Половина длин 25 прыжков 325 / 2 = 162,5 см - выражается не целым числом сантиметров, и, так как длины прыжков выражаются целыми числами сантиметров, вернуться в ту же точку через 25 прыжков кузнечик не может.

Ответ: нет, не может.