Исследовать функцию F (x) = 1/4*x^4-3/2*x^2

f (x) = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2.

1. Найдем область определения и область значений.

D (f) = R, х любое число;

E (f) = R, у любое число.

2. Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2 = 0.

х^2 (1/4 * x^2 - 3/2) = 0;

х^2 = 0; x = 0.

И 1/4 * x^2 - 3/2 = 0; 1/4 * x^2 = 3/2; x^2 = 3/2 : 1/4 = 3/2 * 4/1 = 6; х = - √6 и √6.

График функции пересекает ось х в точках - √6, 0 и √6.

3. Определим четность функции.

f (x) = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2;

f ( - x) = 1/4 * (-x) ^4 - 3/2 * (-x) ^2 = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2.

f (x) равно f ( - x), значит функция четная.

4. Определим промежутки знакопостоянства.

График пересекает ось х в точках - √6, 0 и √6 и делит ее на 4 промежутка:

(-∞; - √6) пусть х = - 3; у = 1/4 * (-3) ^4 - 3/2 * (-3) ^2 = 27/2, у > 0.

(-√6; 0) пусть х = - 1; у = 1/4 * (-1) ^4 - 3/2 * (-1) ^2 = - 5/6, у < 0.

(0; √6) пусть х = 1; у = 1/4 * 1^4 - 3/2 * 1^2 = - 5/6, у < 0.

(√6; + ∞) пусть х = 3; у = 1/4 * (-3) ^4 - 3/2 * (-3) ^2 = 27/2, у > 0.

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f (x) = 1/4 * x^4 - 3/2 * x^2;

f' (x) = х^3 - 3x.

Приравняем производную к нулю.

f' (x) = 0; х^3 - 3x = 0.

х (х^2 - 3) = 0;

х = 0;

х^2 = 3; х = - √3 и х = √3.

(-∞; - √3) пусть х = - 2: f' (x) = (-2) ^3 - 3 * (-2) = - 8 + 6 = - 2. Производная отрицательна, значит функция убывает.

(-√3; 0) пусть х = - 1; f' (x) = (-1) ^3 - 3 * (-1) = - 1 + 3 = 2. Производная положительна, значит функция возрастает.

(0; √3) пусть х = 1; f' (x) = 1^3 - 3 * 1 = 1 - 3 = - 2. Производная отрицательна, значит функция убывает.

(√3; + ∞) пусть х = 2; f' (x) = 2^3 - 3 * 2 = 8 - 6 = 2. Производная положительна, значит функция возрастает.

Точка х = 0 является точкой максимума функции.

Точки - √3 и √3 являются точками минимума.