Найдите производную функции 1) y=cos (arctgx) 2) y=sin (arcctgx) 3) y=sin (arccosx) 4) y=cos (arcsinx)

Найдём производные функций:

1) y = cos (arctg x);

2) y = sin (arcctg x);

3) y = sin (arccos x);

4) y = cos (arcsin x).

Воспользуемся формулами:

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x) ' = - sin x (производная основной элементарной функции).

(arctg x) ' = 1 / (1 + х^2) (производная основной элементарной функции).

(arccos x) ' = - 1 / √ (1 - х^2) (производная основной элементарной функции).

(arcsin x) ' = 1 / √ (1 - х^2) (производная основной элементарной функции).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом:

1) y' = (cos (arctg x)) ' = (arctg x) ' * (cos (arctg x)) ' =

(1 / (1 + х^2)) * (-sin (arctg x)) = (-sin (arctg x)) / (1 + х^2);

2) y' = (sin (arcctg x)) ' = (arcctg x) ' * (sin (arcctg x)) ' =

(1 / (1 + х^2)) * (cos (arcctg x)) = (cos (arcctg x)) / (1 + х^2);

3) y' = (sin (arccos x)) ' = (arccos x) ' * (sin (arccos x)) ' =

(-1 / √ (1 - х^2)) * (cos (arccos x)) = (-cos (arccos x)) / √ (1 - х^2);

4) y' = (cos (arcsin x)) ' = (arcsin x) ' * (cos (arcsin x)) ' =

(1 / √ (1 - х^2)) * (-sin (arcsin x)) = (-sin (arcsin x)) / √ (1 - х^2).