Дан прямоугольник со сторонами 4 см и 14 см. Большую его сторону уменьшили на 2 а см, а меньшую увеличили на а см. При каком значении а площадь полученного прямоугольника будет наибольшей?

Большую сторону прямоугольника уменьшили на 2 а, следовательно, она стала равна 14 - 2 а см.

Меньшую сторону увеличили на а, следовательно, она стала равна 4 + а см.

Тогда площадь нового прямоугольника равна:

S = (4 + a) * (14 - 2a) = 56 + 14a - 8a - a² = 56 + 6a - a².

Найдем производную S (a). Она равна S' (a) = (56 + 6a - a²) ' = 0 + 6 - 2a = 6 - 2a.

S' (a) = 0 при 6 - 2 а = 0, то есть при а = 6/2 = 3.

При а 0; при a > 3: S' (4) = 6 - 2 * 4 = 6 - 8 < 0.

Следовательно, при a 3 убывает, а при a = 3 принимает максимальное значение.

Ответ: a = 3.