Задача 6. Об остаткахНекоторое натуральное число A поделили с остатком на 3, 18 и на 36. Сумма этих трех остатков оказалась равна 39. Найдите остаток от деления числа A на 3.

1. Натуральное число A можно представить в виде:

A = 36k1 + 18k2 + 3k3 + r, где k1 = 0, 1, 2, ...; k2 = 0, 1; k3 = 0, 1, 2, 3, 4, 5; r = 0, 1, 2; r3 = r; r2 = 3k3 + r; r1 = 18k2 + 3k3 + r.

2. Сумма остатков равна 39:

r1 + r2 + r3 = 39; (18k2 + 3k3 + r) + (3k3 + r) + r = 39; 18k2 + 6k3 + 3r = 39; 6k2 + 2k3 + r = 13.

3. Оценки:

2k3 + r ≤ 2 * 5 + 2 = 10 + 2 = 12.

Значит, k2 = 1:

6 * 1 + 2k3 + r = 13; 2k3 + r = 7; 2k3 = 7 - r.

7 - r делится на 2, значит:

r = 1; 2k3 = 7 - 1; 2k3 = 6; k3 = 3.

Итак:

k2 = 1; k3 = 3; r3 = r = 1.

Ответ: 1.