Найдите наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, сумма длин всех ребер которого равна 6

Объём параллелепипеда V = a * b * c, длина всех рёбер 4 * a + 4 * b + 4 * c = 6,

2 * (a + b + c) = 3,

a + b + c = 3 / 2,

a = 3 / 2 - b - c.

Подставив это выражение в формул объёма, получим:

V = (3 / 2 - b - c) * b * c,

V = 3 * b * c / 2 - b² * c - b * c².

Пусть a = const, c = const, тогда получим:

V (b) = 3 * b * c / 2 - b² * c - b * c².

V' (b) = - 2 * b * c - c² + 3 * c / 2 = 0,

откуда получим единственную критическую точку b = - c / 2 + 3 / 4, точку максимума.

Поэтому:

V (-c / 2 + 3 / 4) = - c * (-c / 2 + 3 / 4) ² - (c² - 3 * c / 2) * (-c / 2 + 3 / 4) = (4 * c³ - 12 * c² + 9 * c) / 16.