Задание 1 Найти вид первообразных функций f (x) = 2 х^2/5-5 х^2+7 х/3-3 f (x) = cos5x+9 Задание 2 Для функции f (x) найдите ее первообразную график которой проходит через данную точку М. f (x) = 3x^2 - 2x M (1; 4) Задание 3 Найдите неопределённый интеграл | x^2 (x-1) dx Задание 4-5 Найдите определённый интеграл 3 |. dx/x^2 1 2 |. (e^x + 1/x) dx. 1 | определенный интеграл Задание 6 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = - x^2 + 4x, y=0

1) Найдем вид первообразной функции f (x) = 2 * х^2/5 - 5 * х^2 + 7 * х/3 - 3.

F (x) = ∫ (2 * х^2/5 - 5 * х^2 + 7 * х/3 - 3) dx = 2/5 * x^3/3 - 5 * x^3/3 + 7/3 * x^2/2 - 3 * x + C = 2/15 * x^3 - 5/3 * x^3 + 7/6 * x^2 - 3 * x + C = - 23/15 * x^3 + 7/6 * x^2 - 3 * x + C.

2) Найдем первообразную функции, проходящую через точку М (1; 4).

f (x) = 3 * x^2 - 2 * x;

F (x) = 3 * x^3/3 - 2 * x^2/2 + C = x^3 - x^2 + C;

F (1) = 4;

F (1) = 1^3 - 1^2 + C = 1 - 1 + C = C.

3) Найдем неопределённый интеграл.

∫ (x^2 * (x - 1) dx = ∫ (x^2 * x - x^2 * 1) dx = ∫ (x^3 - x^2) dx = ∫x^3 dx - ∫x^2 dx = x^4/4 + x^3/3 + C.

4) Найдем определённый интеграл

3

|. dx/x^2

1

∫ (от 1 до 3) 1/x^2 dx = (от 1 до 3) ∫ x^ (-2) dx = (от 1 - 3) x^ (-3 + 1) / (-3 + 1) = (от 1 до 3) (-1 / (2 * x^2)) = - 1 / (2 * 3^2) - (-1 / (2 * 1^2)) = - 1/18 + ½ = ½ - 1/18 = (9 - 1) / 18 = 8/18 = 4/9.

∫ (от 1 до 2) (e^x + 1/x) dx = (от 1 до 2) (e^x + 0) = e^2 - e.

6) Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у = - x^2 + 4 * x, y = 0.

S = ∫ (от 0 до 4) (-x^2 + 4 * x) dx = (от 0 до 4) (-x^3/3 + 4 * x^2/2) = (от 0 до 4) (-x^3/3 + 2 * x^2) = (-4^3/3 + 2 * 4^2) - (0) = - 64/3 + 2 * 16 = - 64/3 + 32 = 32 - 64/3 = 32 - 21 1/3 = 11 - 1/3 = 10 2/3.