Прямоугольный участок, площадь которого 2401 м2 огораживается забором. Каковы должны быть его размеры, чтобы его периметр был наименьшим?

Известно, что если а и b - стороны прямоугольника, то его площадь S вычисляется по формуле S = а * b. Согласно условия задания, площадь прямоугольника S = 2401 м². Имеем а * b = 2401, откуда b = 2401 / а. Вычислим периметр Р прямоугольника по формуле Р = 2 * (а + b). Имеем Р = 2 * (а + 2401 / а). Периметр Р будем рассматривать как функцию Р (а) = 2 * (а + 2401 / а) и исследуем её на экстремум. Найдём первую производную функции Р (а). Она равна Рꞌ (а) = (2 * (а + 2401 / а)) ꞌ = 2 * (а + 2401 / а) ꞌ = 2 * (аꞌ + (2401 / а) ꞌ) = 2 * (1 - 2401 / а²). Приравнивая Рꞌ (а) к нулю получим уравнение 2 * (1 - 2401 / а²) = 0 или 2401 / а² = 1, откуда а² = 2401. Последнее уравнение имеет два корня: а₁ = 49 и а₂ = - 49 - побочный корень. Поскольку при а ∈ (0; 49) производная Рꞌ (а) 49 производная Рꞌ (а) > 0, то функция Р (а) = 2 * (а + 2401 / а) принимает своего минимального значения в точке а = 49. Определим другую сторону прямоугольника b = 2401 / а = 2401 / 49 = 49. Таким образом, если участок будет иметь форму квадрата со стороной 49 метров, то его периметр будет наименьшим и равным Р = 4 * 49 м = 196 м.

Ответ: Длина и ширина по 49 метров.