Решите неравенство:cos (2x+пи/3) + cos (2x-пи/3) больше - 1/2

1. Применим формулы сложения аргументов тригонометрических функций:

cos (2x + π/3) + cos (2x - π/3) > - 1/2;

cos (2x + π/3) = cos 2x cosπ/3 - sin 2x sin π/3 = 1/2cos 2x - √3/2sin 2x;

cos (2x - π/3) = cos 2x cosπ/3 + sin 2x sin π/3 = 1/2cos 2x + √3/2sin 2x;

2. Подставим полученные значения:

1/2cos 2x - √3/2sin 2x + 1/2cos 2x + √3/2sin 2x > - 1/2;

cos 2x > - 1/2;

3. Применим формулу для решения простейших тригонометрических неравенств:

- arccos ( - 1/2) + 2πm < 2x < arccos ( - 1/2) + 2πm, m ∈ Z;

- (π - arccos (1/2)) + 2πm < 2x < π - arccos (1/2) + 2πm, m ∈ Z;

- (π - π/3) + 2πm < 2x < π - π/3 + 2πm, m ∈ Z;

- (2π/3) + 2πm < 2x < 2π/3 + 2πm, m ∈ Z;

- (2π/3) / 2 + 2πm < x < (2π/3) / 2 + 2πm, m ∈ Z;

- π/3 + 2πm < x < π/3 + 2πm, m ∈ Z;

Промежуток х ∈ ( - π/3 + 2πm; π/3 + 2πm, m ∈ Z);

Ответ: х ∈ ( - π/3 + 2πm; π/3 + 2πm, m ∈ Z).