Решите уравнения 2 sinx cos x + 4cos2x=1

2sinxcosx + 4cos2x = 1.

Перенесем 1 в левую часть:

2sinxcosx + 4cos2x - 1 = 0.

Так как cos2x = cos^2x - sin^2x, и 1 = sin^2x + cos^2x, получается уравнение:

2sinxcosx + 4 (cos^2x - sin^2x) - (sin^2x + cos^2x) = 0.

Раскрываем скобки и подводим подобные слагаемые:

2sinxcosx + 4cos^2x - 4sin^2x - sin^2x - cos^2x = 0;

2sinxcosx + 3cos^2x - 5sin^2x = 0.

Поделим уравнение на cos^2x:

2sinxcosx/cos^2x + 3cos^2x/cos^2x - 5sin^2x/cos^2x = 0;

2tgx + 3 - 5tg^2x = 0;

-5tg^2x + 2tgx + 3 = 0.

Введем новую переменную: пусть tgx = а.

-5a^2 + 2a + 3 = 0.

Умножим уравнение на (-1):

5a^2 - 2a - 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 5; b = - 2; c = - 3;

D = b^2 - 4ac; D = (-2) ^2 - 4 * 5 * (-3) = 4 + 60 = 64 (√D = 8);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (2 - 8) / (2 * 5) = - 6/10 = - 0,6.

а₂ = (2 + 8) / 10 = 10/10 = 1.

Возвращаемся к замене: tgx = а.

1) tgx = - 0,6; х = arctg (-0,6) + Пn, n - целое число.

2) tgx = 1; х = П/4 + Пn, n - целое число.