Sin x + sin 5x + cos x + cos 5x=0

Решим тригонометрическое уравнение и найдем его корни.

Sin x + sin (5 * x) + cos x + cos (5 * x) = 0;

sin x + cos x = - sin (5 * x) - cos (5 * x);

Возведем уравнение в квадрат и получим:

(sin x + cos x) ^2 = (-sin (5 * x) - cos (5 * x)) ^2;

sin^2 x + 2 * sin x * cos x + cos^2 x = sin^2 (5 * x) + 2 * sin (5 * x) * cos (5 * x) + cos^2 (5 * x);

Упростим уравнение при помощи основных тригонометрических формул.

1 + sin (2 * x) = 1 + sin (2 * 5 * x);

sin (2 * x) = sin (10 * x);

sin (2 * x) - sin (10 * x) = 0;

2 * sin ((2 * x - 10 * x) / 2) * cos ((2 * x + 10 * x) / 2) = 0;

2 * sin (-4 * x)) cos (6 * x) = 0;

2 * sin (4 * x) * cos (6 * x) = 0;

Приравняем уравнения к 0 и решим их по отдельности. Уравнения относятся к простейшим тригонометрическим уравнениям.

1) sin (4 * x) = 0;

4 * x = pi * n, n принадлежит Z;

x = pi * n/4, n принадлежит Z;

2) cos (6 * x) = 0;

6 * x = pi/2 + pi * n, n принадлежит Z;

x = pi/12 + pi * n/6, n принадлежит Z.