Найти точку минимума (x-2) ^2 (2x+3) + 5

Рассмотрим функцию у = (х - 2) ² * (2 * x + 3) + 5. Анализ формулы данной функции показывает, что в её составе присутствуют из четырёх арифметических операций три (возведение в квадрат - это умножение) : сложение, вычитание и умножение. Следовательно, данная функция определена для всех х ∈ (-∞; + ∞). Используя соответствующую формулу сокращенного умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания) и приведя подобные члены в полученном выражении, представим данную функцию в виде у = 2 * х³ - 5 * х² - 4 * х + 17. По требованию задания, найдём точки минимума данной функции, если таковые существуют. Воспользуемся приёмами дифференциального и интегрального исчисления. Как известно, необходимым условием экстремума функции одной переменной в точке x * является равенство нулю первой производной функции, то есть, в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Найдём первую производную данной функции: f Ꞌ (x) = (2 * х³ - 5 * х² - 4 * х + 17) Ꞌ = 6 * x² - 10 * х - 4. Приравнивая производную к нулю, получим уравнение 6 * x² - 10 * х - 4 = 0 или, сокращая обе части на 2, уравнение 3 * x² - 5 * х - 2 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-5) ² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (5 - √ (49)) / (2 * 3) = (5 - 7) / 2 = - 2/6 = - 1/3 и x₂ = (5 + √ (49)) / (2 * 3) = (5 + 7) / 6 = 12/6 = 2. Для выяснения поведения функции в найденных точках, рассмотрим поведение производной в следующих трёх множествах: (-∞; - 1/3), (-1/3; 2) и (2; + ∞). Очевидно, что: при х ∈ (-∞; - 1/3) производная f Ꞌ (x) > 0; при х ∈ (-1/3; 2) производная f Ꞌ (x) 0. Поскольку при переходе через точку х = - 1/3 производная f Ꞌ (x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка x = - 1/3 является точкой максимума функции. Вычислим значение данной функции при x = - 1/3. Имеем: f (-1/3) = (-1/3 - 2) ² * (2 * (-1/3) + 3) + 5 = 478/27. Аналогично, поскольку при переходе через точку х = 2 производная f Ꞌ (x) меняет свой знак с минуса на плюс, то точка x = 2 является точкой минимума функции. Вычислим значение данной функции при x = 2. имеем: f (2) = (2 - 2) ² * (2 * 2 + 3) + 5 = 5. Значит, точкой минимума данной функции является х = 2.

Ответ: Точкой минимума данной функции является х = 2.