cos2x=sin (3 п/2-x) [3 п/2; 5 п/2]

Решим тригонометрическое уравнение cos (2 * x) = sin (3 * pi/2 - x) и найдем его корни на отрезке [3 * pi/2; 5 * pi/2].

cos (2 * x) = sin (3 * pi/2 - x);

cos (2 * x) = - cos x;

Перенесем все на одну сторону и получим:

cos (2 * x) + cos x = 0;

Упростим уравнение, используя формулы суммы тригонометрии.

2 * cos ((2 * x + x) / 2) * cos ((2 * x - x) / 2) = 0;

2 * cos (3 * x/2) * cos (x/2) = 0;

1) cos (3 * x/2) = 0;

3 * x/2 = pi/2 + pi * n;

3 * x = pi/2 * 2 + 2 * pi * n;

x = pi/3 + 2 * pi/3 * n, n принадлежит Z;

x (0) = pi/3 + 0 = pi/3 - не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];

x (1) = pi/3 + 2 * pi/3 = pi - не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];

x (2) = pi/3 + 4 * pi/3 = 5 * pi/3 - принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];

x (3) = pi/3 + 6 * pi/3 = 7 * pi/3 - принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];

x (4) = pi/3 + 8 * pi/3 = 3 * pi - не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];

x (-1) = pi/3 - 2 * pi/3 = - pi/3 - не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2].

2) cos (x/2) = 0;

x/2 = pi/2 + pi * n;

x = 2 * pi/2 + 2 * pi * n;

x = pi + 2 * pi * n, n принадлежит Z;

x (0) = pi + 0 = pi/3 - не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];

x (1) = pi + 2 * pi = 3 * pi - не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2];

x (-1) = pi - 2 * pi = - pi - не принадлежит [3 * pi/2; 5 * pi/2].

Ответ: х = 5 * pi/3 и x = 7 * pi/3.