Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне. Высота рана 8 см, периметр - 52 см, а площадь - 128 см в квадрате. Найдите длины сторон трапеции.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC.

По условию задачи известно, AB = BC = CD. Обозначим длину BC через X.

Опустим высоты BM и CN из вершин трапеции B и C на основание AD.

По условию задачи известно, BM = CN = 8 см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABM и CDN.

По теореме Пифагора из треугольника ABM имеем:

AM^2 = AB^2 - BM^2 = X^2 - 8^2 = X^2 - 64,

AM = √ (X^2 - 64).

Аналогично, из треугольника CDN получим: DN = √ (X^2 - 64).

Периметр P трапеции, по условию задачи, равен 52 см. Значит:

P = AB + BC + CD + AD = 3 * X + AM + MN + DN = 4 * X + 2 * √ (X^2 - 64) = 52,

a) 2 * X + √ (X^2 - 64) = 26.

Площадь S трапеции, по условию задачи, равна 128 см^2. Значит:

S = (AD + BC) * BM / 2 = (AM + MN + DN + BC) * 8 / 2 = 4 * (2 * √ (X^2 - 64) + 2 * X) = 128,

8 * (√ (X^2 - 64) + X) = 128,

b) √ (X^2 - 64) + X = 16.

Вычтем из уравнения b) из уравнения a):

2 * X + √ (X^2 - 64) - X - √ (X^2 - 64) = 26 - 16 = 10,

X = 10.

Тогда:

AD = AM + MN + DN = 2 * √ (X^2 - 64) + X = 2 * 6 + 10 = 22.

Ответ: Стороны трапеции AB = BC = CD = 10 см, AD = 22 см.