Нужно решить задачу через систему уравнений, не теоремой!) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты треугольника.

1. Обозначим значение одного из катетов a прямоугольного треугольника за х см, тогда по условию задачи второй b равен (х - 3) см, гипотенуза с равна 15 см.

2. Запишем систему уравнений:

а) а = х;

б) b = х - 3;

с) с² = a² + b².

Из уравнений а) и б) подставим значения в с) и получим

15² = х² + (х - 3) ²;

225 = х² + х² - 6 х + 9;

2 х² - 6 х - 216 = 0; или х² - 3 х - 108 = 0;

найдем корни квадратного уравнения

х1 = (3 + √9 + 432) : 2 = (3 + 21) : 2 = 12. Второй корень с отрицательным значением не имеет смысла.

Тогда катет а равен 12 см, втрой b = 12 см - 3 см = 9 см.

Ответ: Катеты равны 12 см и 9 см.