Решите систему методом замены переменной (ху) ^2-3 ху=18 4 х+у=1

(ху) ^2 - 3 ху = 18; 4 х + у = 1.

Выразим из второго уравнения у:

4 х + у = 1; у = 1 - 4 х.

Подставим выраженное значение у = 1 - 4 х в первое уравнение:

(х (1 - 4 х)) ^2 - 3 х (1 - 4 х) = 18.

Введем новую переменную, пусть х (1 - 4 х) = а.

Получается уравнение:

а^2 - 3 а - 18 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 3; х₁ * х₂ = - 18.

Корни равны 6 и (-3), то есть а = 6 и а = - 3.

Вернемся к замене х (1 - 4 х) = а.

1) а = 6; х (1 - 4 х) = 6; х - 4 х^2 - 6 = 0; - 4 х^2 + х - 6 = 0;

умножим на (-1) : 4 х^2 - х + 6 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 4; b = - 1; c = 6;

D = b^2 - 4ac; D = (-1) ^2 - 4 * 4 * 6 = 1 - 96 = - 95 (D < 0, нет корней).

2) а = - 3; х (1 - 4 х) - 3; х - 4 х^2 + 3 = 0; - 4 х^2 + х + 3 = 0;

умножим на (-1) : 4 х^2 - х - 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 4; b = - 1; c = - 3;

D = b^2 - 4ac; D = (-1) ^2 - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49 (√D = 7);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (1 - 7) / (2 * 4) = - 6/8 = - 3/4.

х₂ = (1 + 7) / 8 = 8/8 = 1.

Вычислим значение у: у = 1 - 4 х;

х₁ = - 3/4; у₁ = 1 - 4 * (-3/4) = 1 + 3 = 4.

х₂ = 1; у₂ = 1 - 4 * 1 = 1 - 4 = - 3.

Ответ: (-3/4; 4) и (1; - 3).