Решите систему уравнений: 3xy - x - y=7, x² y+xy² = 20;

3xy - x - y = 7,

x^2 y + xy^2 = 20;

3xy - x - y = 7,

xy (x + y) = 20;

Произведем замену: xy = a, x + y = b;

3a - b = 7,

a * b = 20;

Решим систему с помощью подстановки:

3a - b = 7, b = 3a - 7,

a (3a - 7) = 20;

3a^2 - 7a - 20 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = ( - 7) ^2 - 4 * 3 * ( - 20) = 49 + 240 = 289;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

a1 = (7 - √289) / 2 * 3 = (7 - 17) / 6 = - 10/6 = - 5/3;

a2 = (7 + √289) / 2 * 3 = (7 + 17) / 6 = 24/6 = 4;

b1 = 3 * ( - 5/3) - 7 = - 12;

b2 = 3 * 4 - 7 = 5;

Сделаем обратную замену:

1) xy = - 5/3;

x + y = - 12;

x = - 12 - y;

( - 12 - y) y = - 5/3;

- 12y - y^2 + 5/3 = 0, умножим левую и правую часть на - 3:

y^2 + 36y - 5 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = 36^2 - 4 * 3 * ( - 5) = 1296 + 60 = 1356;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

y1 = ( - 36 - √1356) / 2 * 3 = - 6 - 1/3√339;

y2 = ( - 36 + √1356) / 2 * 3 = - 6 + 1/3√339;

x1 = - 12 - ( - 6 - 1/3√339) = - 12 + 6 + 1/3√339 = - 6 + 1/3√339;

x2 = - 12 - ( - 6 + 1/3√339) = - 6 - 1/3√339;

2) xy = 4;

x + y = 5;

x = 5 - y;

(5 - y) y = 4;

5y - y^2 - 4 = 0;

y^2 - 5y + 4 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = ( - 5) ^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

y1 = (5 - √9) / 2*1 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1;

y2 = (5 + √9) / 2*1 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4;

x1 = 5 - 1 = 4;

x2 = 5 - 4 = 1.