Найти промежутки возрастания и убывания производной y=x^2+8x

Графиком квадратичной функции является парабола. С учетом того, что первый коэффициент (при х²) положителен, ветви ее направлены вверх. А единственным экстремумом является вершина параболы. Проверим и найдем экстремум. Для этого найдем и приравняем первую производную нулю:

y = x² + 8 * x;

у' = 2 * х + 8;

2 * х + 8 = 0;

2 * х = - 8;

х = - 8/2 = - 4;

у = x² + 8 * x = (-4) ² + 8 * (-4) = 16 - 32 = - 16.

Таким образом координаты экстремума или вершины параболы х = - 4; у = - 16;

При х = 0;

у' = 2 * х + 8 = 8;

При х = - 5;

у' = 2 * х + 8 = - 10 + 8 = - 2;

Знак производной при переходе через точку экстремума меняется с плюса на минус, следовательно на участке:

х ∈ (-∞; - 4) - функция убывает;

А на участке:

х ∈ (-4; + ∞) - функция возрастает;

А точка (-4; - 16) является минимумом функции, что согласуется с тем, что ветви параболы направлены вверх.