1) Вычислите скалярное произведение векторов m и n, если m=a+2b-c, n=2a-b, |a|=2, |b|=3, (a^b) = 60, c_|_a, c_|_b. 2) Даны векторы а (5; -1; 2) и b (3; 2; -4). Найти |a-2b| 3) Даны точки а (-1; 5; 3) в (-1; 3; 9) с (3; -2; 6) доказать что тр. авс - прямоугольный 4) Найдите координаты вектора CD, если С (6; 3; -2), D (2; 4; -5) 5) вершины треугольника abc имеют координаты A (-1,2,3), B (1,0,4), C (3,-2,1) Найдите координаты вектора AM-медиана треугольникаABC

1) Если угол между векторами равен 90°, то их скалярное произведение равно нулю, поэтому учтем, что a * c = 0; b * c =; a² = |a|² = 3² = 9; b² = |b|² = 2² = 4; a * b = |a| * |b| * cos (a^b) = 3 * 2 * cos60° = 3.

Найдем скалярное произведение между векторами m и n, подставив их значения:

m * n = (2a - b + c) (a - 2b) = 2a² - b * a + c * a - 4a * b + 2b² - 2c * b =

= 2a² - 5ab + 2b² = 2 * 9 - 5 * 3 + 2 * 4 = 11.

2) При умножении вектора на некоторое число нужно его все координаты тоже умножить на это число, поэтому: 2b = (6; 4; - 8).

При вычитании векторов, заданных своими координатами, нужно выполнить вычитание их одноименных координат: a - 2b = (5 - 6, - 1 - 4, 2 - (-8)) = (-1; - 5; 10).

|a-2b| = √ ((-1) ² + (-5) ² + 10²) = √ (1 + 25 + 100) = √126 = 3√14.

3) Найдем скалярное произведение сторон треугольника, заданных векторами:

ab, с координатами (-1 - (-1); 3 - 5; 9 - 3) = (0; - 2; 6);

ac, с координатами (3 - (-1); - 2 - 5; 6 - 3) = (-2; - 3; 3);

bc, с координатами (3 - (-1); - 2 - 3; 6 - 9) = (4; - 5; - 3).

ab * ac = 0 * (-2) + (-2) * (-3) + 6 * 3 = 0 + 6 + 18 = 24;

ab * bc = 0 * 4 + (-2) * (-5) + 6 * (-3) = 0 + 10 - 18 = - 8;

ac * bc = - 2 * 4 + (-3) * (-5) + 3 * (-3) = - 8 + 15 - 9 = - 2;

Так как ни одно скалярное произведение векторов не равно нулю, треугольник не прямоугольный.