Y = (x+8) e^8-x найти производную и точку максимума

Найдем производную функции:

у = (x + 8) * e ^{(8 - x)} .

Производная произведения: (f * g) ' = f' * g + f * g'.

у' = (x + 8) ' * e ^{(8 - x)} + (x + 8) * (e ^{(8 - x)} ) ' = 1 * e ^{(8 - x)} + (х + 8) * e ^{(8 - x)} * (8 - х) ' = e ^{(8 - x)} + (х + 8) * e ^{(8 - x)} * (-1) = e ^{(8 - x)} - e ^{(8 - x)} * (х + 8) = e ^{(8 - x)} (1 - х - 8) = e ^{(8 - x)} (-х - 7).

Приравниваем производную к нулю:

e ^{(8 - x)} (-х - 7) = 0.

Отсюда - х - 7 = 0 (e ^{(8 - x)} никогда не будет равно нулю).

-х = 7; х = - 7.

Определяем знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; - 7) пусть х = - 8; у' = e ^{(8 - (-8))} ( - (-8) - 7) = е¹⁶ * (8 - 7) = е¹⁶. Производная положительна, функция возрастает.

(-7; + ∞) пусть х = 0; e ^{(8 - 0)} (-0 - 7) = е⁸ * ( - 7) = - 7 е⁸. Производная отрицательна, функция убывает.

Значит, х = - 7 это точка максимума функции.

Ответ: x_max = - 7.