При каком наименьшем n число n! делится на 7 в 10 степени

Чтобы какое-либо число делилось на 7 в степени 10 (т. е. на 7¹⁰), необходимо, чтобы среди его делителей были десять 7-к.

Самые маленькие числа, которые делятся на 7, и у которых есть делитель 7, это:

1) 7 * 1 = 7;

2) 7 * 2 = 14;

3) 7 * 3 = 21;

4) 7 * 4 = 28;

5) 7 * 5 = 35;

6) 7 * 6 = 42;

7) 7 * 7 = 49;

8) 7 * 8 = 56;

9) 7 * 9 = 63;

10) 7 * 10 = 70.

Лишь перемножив между собой эти числа, мы получим минимальное число, которое делится на 7¹⁰ (на 10 семерок).

Значит число 70! - наименьший факториал, делящийся на 7¹⁰.