Решите неравенство. (Log 0,5 x) ^2 - 3log 0,5 x - 4 < = 0

1. Выполним замену у = log _0,5 x , у > 0 и решим квадратное уравнение:

(log _0,5 x) ² - 3log _0,5 x - 4 ≤ 0;

у² - 3y - 4 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 3) ² - 4 * 1 * ( - 4) = 9 + 16 = 25;

D › 0, значит квадратное уравнение имеет два корня:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (3 - √25) / 2 * 1 = (3 - 5) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (3 + √25) / 2 * 1 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4;

+ - +

---• ( - 1) - --• (4) - --

y ∈ [ - 1; 4];

2. Составим систему уравнений:

{ - 1 ≤ y ≤ 4;

{y > 0;

Значит, 0 ≤ y ≤ 4;

3. Подставим нашу переменную назад:

у = log _0,5 x;

0 ≤ log _0,5 x ≤ 4;

4. Преобразуем числовой коэффициент справа и слева в логарифм:

4 = 4log _0,5 0,5 = log _0,5 0,5 ⁴;

0 = log _0,5 1

log _0,5 1 ≤ log _0,5 x ≤ log _0,5 0,5 ⁴;

5. Заметим, что основания логарифмов 0 < 0,5 < 1. Из равенства основания логарифмов следует:

1 ≥ x ≥ 0,5 ⁴;

1 ≥ x ≥ 0,0625;

х ∈ [0,0625; 1];

Ответ: х ∈ [0,0625; 1].