Докажите, что для любого х справедливо неравенство cos (7 + х) sin х< sin (7 + х) cos х

В задании требуется доказать справедливость неравенства cos (7 + х) * sinх < sin (7 + х) * cosх для любого х. Рассмотрим тригонометрическое выражение sin7. Поскольку 7 = 2 * π + 7 - 2 * π, то используя периодичность синус функции, имеем: sin7 = sin (2 * π + 7 - 2 * π) = sin (7 - 2 * π). Нетрудно убедиться, что угол (7 - 2 * π) радиан принадлежит к I координатной четверти, то есть, 0 < 7 - 2 * π < π/2. Действительно, умножая на 2 все (левую, среднюю и правую) части последнего двойного неравенства, получим: 0 < 14 - 4 * π < 2 * π. Прибавим ко всем частям последнего двойного неравенства 4 * π. Тогда, имеем 4 * π < 14 < 6 * π или 2 * π < 7 0 или 0 < sin7. Левую часть последнего неравенства (то есть, 0) заменим на sinx * cosx * cos7 - sinx * cosx * cos7 = 0, а правую часть умножим (с учетом основного тригонометрического тождества) 1 = sin²x + cos²x. Тогда получим следующее неравенство sinx * cosx * cos7 - sinx * cosx * cos7 < sin7 * (sin²x + cos²x) или cos7 * cosx * sinx - sinx * cos7 * cosx < sin7 * sin²x + sin7 * cos²x. Последнее неравенство перепишем в виде cos7 * cosx * sinx - sin7 * sinx * sinx < sin7 * cosх * cosx + cos7 * sinx * cosx или (cos7 * cosx - sin7 * sinx) * sinx < (sin7 * cosх + cos7 * sinx) * cosx. К левой части этого неравенства применим формулу cos (α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ (косинус суммы), а к правой - формулу sin (α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ (синус суммы). Тогда, получим требуемое неравенство cos (7 + х) * sinх < sin (7 + х) * cosх. Что и требовалось доказать.