Найти все значения а при которых сумма квадратов корней уравнения х^2 + (2-а) х-а-3=0 будет наименьшей

Рассмотрим корни уравнения: х^2 + (2 - а) * х - (а-3) = 0, и применим теорему Bиета:

х1 + х2 = - (2 - а); х1 * х2 = - а - 3. (1)

Найдём искомые (х1² + х2²) = (х1 + х2) ² - 2 * х1 * х2.

Все эти величины определены в (1). Подставим значения.

х1² + х2² = [ - (2 - а) ]² - 2 * ( - а - 3) = (2 - а) ² + 2 * а + 6 = 4 - 4 * а + а² + 2 * а + 6 = а² - 2 * а + 10. (2)

В полученном выражении выделим полные квадрат.

Тогда (2) примет вид: а² - 2 * а * 1 + 1² + (10 - 1) = (а - 1) ² + 9. (3). Проанализируем выражение (3), (а - 1) ²>0 при любых а и минимально при а = 1.