При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x^2+ax+a-2=0 является наименьшей? Чему равна сумма?

1. Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном значении дискриминанта:

x^2 + ax + a - 2 = 0;

D = a^2 - 4 (a - 2);

D = a^2 - 4a + 8 = (a - 2) ^2 + 4 > 0.

D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня для любого значения a.

2. По теореме Виета:

x1 + x2 = - a; (1) x1x2 = a - 2. (2)

3. Для суммы квадратов корней получим:

S = x1^2 + x2^2 = (x1 + x2) ^2 - 2x1x2;

S = a^2 - 2 (a - 2) = a^2 - 2a + 4 = (a - 1) ^2 + 3.

4. Наименьшее значение для этой суммы получим при a = 1;

S (min) = (1 - 1) ^2 + 3 = 3.

Ответ: a = 1; S = 3.