Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4, а периметр-10. Найдите сумму синусов углов этого треугольника.

Обозначим катеты данного прямоугольного треугольника через х и у.

Согласно условию задачи, гипотенуза данного прямоугольного треугольника равна 4, следовательно, используя теорему Пифагора, можем записать следующее соотношение:

х² + у² = 4².

Также известно, что периметр данного прямоугольного треугольника равен 10, следовательно, можем записать следующее соотношение:

х + у + 4 = 10.

Упрощая полученное соотношение, получаем:

х + у = 10 - 4;

х + у = 6.

Решаем полученную систему уравнений:

х² + у² = 4²;

х + у = 6.

Подставляя в первое уравнение значение х = 6 - у из второго уравнения, получаем:

(6 - у) ² + у² = 4²;

36 - 12 у + у² + у² = 16;

2 у² - 12 у + 36 - 16 = 0;

2 у² - 12 у + 20 = 0;

у² - 6 у + 10 = 0;

у = - 3 ± √ (3² - 10) = - 3 ± √ (9 - 10) = - 3 ± √ (-1).

Поскольку дискриминант данного квадратного уравнения отрицателен, то это квадратное уравнение не имеет корней, следовательно, прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 4 и периметром, равным 10 не существует.