1. Известно, что b1=1, q=2, Sn=4095. Найдите n2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии bn, если b6-b4=216, b3-b1=8

Решение:

Для определения количества членов геометрической прогрессии n, воспользуемся формулой нахождения её суммы:

Sn = b1 ⋅ (1 - q ^ n) / (1 - q), где q ≠ 1;

Подставляем значения:

4095 = 1 ⋅ (1 - 2 ^ n) / (1 - 2);

Решаем полученное уравнение:

4095 = (1 - 2 ^ n) / ( - 1);

4095 = 2 ^ n - 1;

2 ^ n = 4096;

2 ^ n = 2 ^ 11;

n = 11.

Ответ: количество членов геометрической прогрессии n = 11.

Решение:

Воспользуемся формулой bn+1 = bn ⋅ q и представим:

b6 = b5 ⋅ q = b4 ⋅ q ^ 2 = b3 ⋅ q ^ 3;

b4 = b3 ⋅ q = b2 ⋅ q ^ 2 = b1 ⋅ q ^ 3.

Подставим представленные b6 и b4 в выражение b6-b4=216:

b3 ⋅ q ^ 3 - b1 ⋅ q ^ 3 = 216;

Выносим q ^ 3 за скобку:

q ^ 3 ⋅ (b3 - b1) = 216;

По условию b3 - b1 = 8, подставляем:

q ^ 3 ⋅ 8 = 216;

q ^ 3 = 216 : 8;

q ^ 3 = 27;

q = 3.

Ответ: знаменатель геометрической прогрессии q = 3.